Matematika (25.05.2025) 2-smena

45 ta savol · saqlash uchun kiring

Matematika formulalar varaqasi / Лист формул по математике

Tenglamalar / Уравнения

ax^{2}+bx+c=0; \quad x_{1:2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}; \quad \begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\ x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\end{cases}

|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|\Rightarrow f(x)\cdot g(x)\ge0;

\frac{Ax}{ax^{2}\pm bx-c}\pm\frac{Bx}{ax^{2}\pm dx+c}=k \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{ax-\frac{c}{x}\pm b}\pm\frac{B}{ax+\frac{c}{x}\pm d}=k;

(ax^{2}\pm bx-c)(ax^{2}\pm dx+c)=Ax^{2} \quad \Rightarrow \quad (ax-\frac{c}{x}\pm b)(ax+\frac{c}{x}\pm d)=A;

ax+\frac{c}{x}=z

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = A \quad \Rightarrow \quad a+b=c+d

bo'lsa,

t=x^{2}-(a+b)x

o'zgaruvchi kiritib yechiladi / решается c помошью замены

Qisqa ko'paytirish formulalari / Формулы сокращённого умножения

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(a\pm b)^{2}=(a^{2}\pm2ab+b^{2})

(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})

a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})

a^{2n}\pm b^{2n}=(a\pm b)(a^{2n-1}\mp a^{2n-2}b+...+ab^{2n-2}\mp b^{2n-1})

a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=(a\pm b)(a^{2n}\mp a^{2n-1}b+...+ab^{2n-1}\mp b^{2n})

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^{2}+...

...+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-(k-1))}{k!}+...+nab^{n-1}+b^{n}

Arifmetik progressiya / Арифметическая прогрессия

a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d;

a_{n}=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2} \quad (1\le k\le n-1);

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n

Geometrik progressiya / Геометрическая прогрессия

b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}; \quad b_{n}^{2}=b_{n-m}\cdot b_{n+m} \quad (1\le m\le n-1);

S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q} \quad (|q|>1);

S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q} \quad (|q|<1);

Logarifmning xossalari / Свойства логарифмов

log_{a}1=0; \quad log_{a}(x_{1}\cdot x_{2})=log_{a}|x_{1}|+log_{a}|x_{2}|;

log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}}=log_{a}|x_{1}|-log_{a}|x_{2}|; \quad log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a};

log_{a^{q}}x^{p}=\frac{p}{q}\cdot log_{a}x; \quad log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a};

lg10^{n}=n; \quad lne^{n}=n;

Daraja va ildiz / Степень и корень

a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n}; \quad a^{n}:a^{m}=a^{m-n}; \quad (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n};

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}; \quad (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}; \quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};

(\frac{a^{n}}{b^{m}})^{-k}=(\frac{b^{m}}{a^{n}})^{k}; \quad (-a)^{2n}=a^{2n}; \quad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1};

\sqrt[n]{a^{k}}=a^{\frac{k}{n}}; \quad \sqrt[n]{a^{k}\cdot b^{m}}=\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[n]{b^{m}};

\sqrt[n]{\frac{a^{k}}{b^{m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{k}}}{\sqrt[n]{b^{m}}}; \quad (\sqrt[n]{a^{m}})^{k}=\sqrt[n]{a^{mk}}; \quad \sqrt[n]{a^{n+k}}=a\sqrt[n]{a^{k}};

a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}}; \quad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a^{k}}}=\sqrt[nm]{a^{k}};

\sqrt[n]{a^{k}}\cdot\sqrt[m]{b^{p}}=\sqrt[nm]{a^{km}\cdot b^{pn}}; \quad \sqrt[n]{a^{n}}=|a| \quad (n=2k);

\sqrt[2n]{(a-b)^{2n}}=\begin{cases}a-b, & a\ge b\\ b-a, & b\ge a\end{cases}

Urinma va normal tenglamasi / Уравнение касательной и нормали

y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0});

y=f(x_{0})-\frac{1}{f^{\prime}(x_{0})}(x-x_{0});

Hosilaga doir formulalar va xossalari / Таблица производных и свойства

(x^{a})^{\prime}=ax^{a-1}; \quad (a^{x})^{\prime}=a^{x}ln a; \quad (e^{x})^{\prime}=e^{x};

(log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x ln a}; \quad (ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}; \quad (sin x)^{\prime}=cos x;

(cos x)^{\prime}=-sin x; \quad (tg x)^{\prime}=\frac{1}{cos^{2}x}; \quad (ctg x)^{\prime}=-\frac{1}{sin^{2}x};

(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}; \quad (k\cdot u)^{\prime}=k\cdot u^{\prime};

(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}; \quad (\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^{2}};

Integralga doir formulalar va xossalari / Таблица и свойства интегралов

\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C; \quad \int\frac{dx}{x}=ln|x|+C;

\int e^{x}dx=e^{x}+C; \quad \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C;

\int sinx dx=-cosx+C; \quad \int cosx dx=sinx+C;

\int k\cdot f(x)dx=k\cdot\int f(x)dx;

\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a); \quad \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx;

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \quad (a\le c\le b);

O'rta arifmetik va o'rta geometrik / Среднее арифметическое и среднее геометрическое

A=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}; \quad G=\sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n}}

Ba'zi trigonometrik formulalar / Основные формулы тригонометрии

Asosiy trigonometrik ayniyatlar / Основные тригонометрические свойства:

sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1; \quad tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}; \quad ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha};

tg^{2}\alpha+1=\frac{1}{cos^{2}\alpha}; \quad ctg^{2}\alpha+1=\frac{1}{sin^{2}\alpha};

cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta\mp sin\alpha\cdot sin\beta;

sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta\pm cos\alpha\cdot sin\beta;

tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg\alpha\pm tg\beta}{1\mp tg\alpha\cdot tg\beta}; \quad ctg(\alpha\pm\beta)=\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta\mp1}{ctg\alpha\pm ctg\beta};

sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

sin\alpha-sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2};

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2};

cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2};

Trigonometrik funksiyaning ba'zi burchaklardagi qiymatlari / Значения тригонометрической функции под некоторыми углами

$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0

To'g'ri burchakli uchburchak uchun formulalar / Формулы для прямоугольного треугольника

a^2 + b^2 = c^2;

a = c \cdot \sin\alpha

b = c \cdot \cos\alpha;

a = b \cdot \text{tg}\alpha

Ixtiyoriy uchburchak uchun formulalar / Формулы для произвольного треугольника

S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

p = \frac{1}{2}(a + b + c); \quad S = \frac{1}{2}h_c \cdot c

\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

Uchburchak uchun formulalar (umumiy) / Формулы для треугольника (общие)

S=\frac{1}{2}ab sin\gamma; \quad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};

p=\frac{1}{2}(a+b+c); \quad S=\frac{1}{2}h_{c}\cdot c;

\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R; \quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha;

To'g'ri burchakli uchburchak / прямоугольный треугольник:

a^{2}+b^{2}=c^{2}; \quad a=c\cdot sin\alpha; \quad b=c\cdot cos\alpha; \quad a=b\cdot tg\alpha;

Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylana radiuslarini hisoblash formulasi /
Формула вычисления радиусов окружности, вписанной внутрь и вне треугольника

r=\frac{2S}{a+b+c}; \quad R=\frac{abc}{4S};

To'rtburchakning yuzlari uchun formulalar / Формулы граней четырехугольника

Parallelogramm / параллелограмм:

S=a\cdot h_{a}; \quad S=a\cdot b\cdot sin\alpha;

Romb / ромб:

S=\frac{1}{2}\cdot d_{1}\cdot d_{2}; \quad S=a^{2}\cdot sin\alpha;

Trapetsiya / трапеция:

S=\frac{a+b}{2}\cdot h;

Aylana va doira Doiraviy sektor va segment yuzi / Круговой сектор и сегментная грань

l=2\pi R; \quad S=\pi R^{2};

S_{sektor}=\frac{\pi R^{2}}{360}\cdot\alpha; \quad S_{segment}=\frac{R^{2}}{2}(\alpha-sin\alpha);

Vektorlar / Векторы

|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

vektorning uzunligi / длина вектора

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos\varphi

skalyar ko'paytmasi / скалярное умножение

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}

vektorlarning skalyar ko'paytmasi / скалярное произведение векторов

\vec{a}\cdot\lambda=\vec{c}(x\cdot\lambda;y\cdot\lambda;z\cdot\lambda)

Stereometriya formulalari / Формулы стереометрии

Prizma / призма | Piramida / пирамида:

V=S\cdot H; \quad V=\frac{1}{3}S\cdot H;

Kesik piramida / усеченная пирамида:

V=\frac{1}{3}h(S_{1}+\sqrt{S_{1}\cdot S_{2}}+S_{2});

Silindr / цилиндр:

S_{yon}=2\pi RH; \quad V=\pi R^{2}H;

Konus / конус:

S_{yon}=\pi R l; \quad V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H;

Kesik konus / усеченный конус:

V=\frac{1}{3}\pi h(R_{1}^{2}+R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}^{2});

Shar / шар:

S=4\pi R^{2}; \quad V=\frac{4}{3}\pi R^{3};

Shar segmentining hajmi / объем шар сегмента:

V=\pi H^{2}(R-\frac{H}{3});

Shar segmentining sirtining yuzi / площадь поверхности шарового сегмента:

S_{sirt}=2\pi RH;

Agar

a, b\in N

a\cdot b=2^3\cdot 3^5\cdot 7^2

bo'lsa,

EKUK(a;b)

ning eng kichik qiymatini toping.

Agar

a=\sqrt[3]{12}

b=\sqrt6

c=2\sqrt[6]3

bo'lsa,

\dfrac{|a-b|+|b-c|-|a-c|-|2a|}{|a-c|+|b-4|+|c-2|}

ni soddalashtiring.

Ikki sohil orasidagi masofa

24\ km

ga teng. Matorli qayiq borib kelishi uchun 9 soat vaqt sarfladi. Oqim tezligi

2\ km/soat

ga teng bo'lsa, matorli qayiqning turg'un suvdagi tezligi oqim tezligidan necha marta katta?

6 ta bir xil shisha idishning hajmi 2 ta bochka hajmining 90% iga teng bo'lsa, 1 ta shisha idish hajmi 1 ta bochka hajmining necha foiziga teng.

Hisoblang:

(0{,}25)^{-\frac12}\cdot 3^{-1}+(0{,}5)^{-2}\cdot 9^{-\frac12}

Hisoblang:

\frac{4}{\sqrt{13}+3}-\frac{9}{\sqrt{13}-2}

Hisoblang:

\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}

Agar

b_4-b_1=52

b_7-b_1=1456

bo'lsa,

S_6

ning qiymatini toping.

a_4+a_{17}=17

S_{14}-S_3=77

a_k=2023

bo'lsa,

\sqrt k

ning qiymatini toping.

10.

Agar

x=6

bo'lsa,

\left(\dfrac{1}{\sqrt x+\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt x-\sqrt2}\right)^{-2}

ni hisoblang.

11.

\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt5}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}

soni qaysi oraliqga tegishli.

12.

Hisoblang:

\operatorname{tg}\left(\arcsin\left(-\frac12\right)\right)

13.

\sqrt{\operatorname{ctg}x}\cdot(2\sin x-1)=0

tenglamaning

[0;2\pi]

oraliqdagi ildizlari yig'indisini toping.

14.

25\cdot 2^x-10^x+5^x\ge 25

tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

15.

2\lg 2+\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)\lg 3=\lg\left(3^{\frac1x}+27\right)

tenglamaning barcha haqiqiy ildizlari yig'indisini toping (agar u bitta bo'lsa, shu ildizini toping).

16.

\sqrt{3x-x^2+4}=a

tenglama

a

ning nechta butun qiymatida yechimga ega bo'ladi?

17.

\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=y\\ x^2=y^2+36\end{cases}

tenglamalar sistemasi nechta haqiqiy

(x;y)

juftligiga ega?

18.

Tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping:

\sqrt{x-2}-\sqrt[4]{6-x}\ge 0

19.

\dfrac{3(x-5\sqrt x+6)}{x-4}>\sqrt x-3

tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

20.

af(x)+bf\left(\dfrac1x\right)=\dfrac1x-2024

bo'lsa,

f(x)

ni toping.

a\ne0

b\ne0

a\ne b

21.

f(x)=x+3

bo'lsa,

3\big(f(2x)-2f(x-1)\big)

ning qiymatini toping.

22.

\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^6 x}{\cos^8 x}\,dx

ni hisoblang.

23.

y=\dfrac{1}{1-\cos x}+\dfrac{4}{\cos x}

funksiya

\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]

oraliqdagi eng kichik qiymatini toping.

24.

Kvadratga aylana ichki chizilgan. Kvadrat perimetrining aylana uzunligiga nisbatini toping.

25.

R=25

r=5

bo'lsa,

ABC

uchburchak yuzini toping?

26.

ABC

— to'g'ri burchakli uchburchak.

AD=4

CD=6

DE=EB=5

bo'lsa, shtrixlangan yuzani toping.

27.

ABCD

kvadrat.

MNC

— to'g'ri burchakli uchburchak. Agar

CN=4

MN=3

CM=5

bo'lsa,

ABCD

kvadrat yuzini toping.

28.

FG=6\ cm

ABCDEF

— muntazam oltiburchak. Shtrixlangan soha yuzini toping.

29.

ABCD

— teng yonli trapetsiya.

\dfrac{BC}{AD}=\dfrac13

MN

— o'rta chiziq

BH

balandlikni

O

nuqtada kesadi.

\vec{AO}=a\cdot\vec{AB}+b\cdot\vec{BC}

bo'lsa,

\dfrac{a}{b}

ning qiymatini toping.

30.

Konus to'la sirti asosining yuzidan 8 marta katta. Konus balandligi 24 ga teng bo'lsa, konus hajmini toping.

31.

A=\{x\mid 2\le x\le 4,\ x\in R\}

B=\{x\mid 6\le x\le 8,\ x\in R\}

C=\{x\mid 3\le x\le 7,\ x\in R\}

D=\{x\mid 3\le x\le 4,\ x\in R\}

E=\{x\mid 6\le x\le 7,\ x\in R\}

to'plamlar berilgan. Quyidagi to'plamlardan qaysi biri

D\cup E

to'plamga teng kuchli to'plam bo'ladi?

32.

Bu yerda

a

b

c

— turli raqamlar.

\overline{abcabc\ldots abc}

(

2025

xonali) ko'rinishdagi 2025 xonali sonlar nechta?

Topshiriqlar (33-35) va javob variantlari (A-F) ni o'zaro moslashtiring.

33-35.

Rasmda uchlari

A(-3;2)

B\left(-1;2\sqrt3+2\right)

C\left(3;2\sqrt3+2\right)

D(9;2)

nuqtalarda bo'lgan to'rtburchak berilgan.

Javob variantlari:

12\sqrt3

16\sqrt3

210

240

72\sqrt3

72\left(\sqrt3+1\right)

Savol	A	B	C	D	E	F
33. $ABCD$ trapetsiya yuzini hisoblang.
34. $ABCD$ to'rtburchakning katta tomoni atrofida $360^\circ$ ga aylantirishdan hosil bo'lgan jismning to'la sirtini toping.
35. $ABCD$ to'rtburchakning katta tomoni atrofida $360^\circ$ ga aylantirishdan hosil bo'lgan jismning hajmini toping.

36.

Tenglamani yeching:

\left(99+70\sqrt2\right)^x+8\left(17+12\sqrt2\right)^x-7\left(3+2\sqrt2\right)^x+\left(3-2\sqrt2\right)^x=7

a) Tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

b) Tenglama haqiqiy ildizlari yig'indisini toping.

37.

Tenglamani yeching:

\left(2\sin x-\sqrt3\right)\cdot\sqrt{7x-4-3x^2}=0

a) Tenglama nechta haqiqiy ildizga ega?

b) Tenglamaning eng katta va eng kichik ildizlari ko'paytmasini toping.

38.

f(x)=a\cdot x^n+b

funksiya uchun

n\in N

f(x)\cdot f\left(\frac1x\right)=f(x)+f\left(\frac1x\right)

f(3)=82

tenglik o'rinli bo'lsa,

f(2)+f(1)

ning qiymatini toping.

y=f(x)

funksiyaning qiymatlar sohasini toping.

39.

f(x)=\sin\left(\dfrac1x\right)

funksiya ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo'lsa,

f'\left(\dfrac{1}{\pi}\right)

ning qiymatini toping.

g(x)=f(x)+2x^3f'(x)+x^4f''(x)

bo'lsa,

g(2025)

ning qiymatini toping.

40.

ABCDEF

muntazam oltiburchakning yuzi

6\sqrt3

ga teng

LM

— kesma uzunligini toping.

LKMN

shtrixlangan yuzani toping.

41.

f(x)

funksiya uchun

\displaystyle\int_0^1 f(x)\cdot f'(x)\,dx=0

\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\cdot f'(x)\,dx=18

tenglik o'rinli bo'lsa,

f(1)

ni toping.

\displaystyle\int_0^1 f^4(x)\cdot f'(x)\,dx

ning qiymatini toping.

42.

ABC

uchburchakning

a

b

c

tomonlariga tushirilgan balandliklari mos ravishda

h_a=12

h_b=12\frac{12}{13}

h_c=11\frac15

ga teng.

ABC

uchburchakga ichki chizilgan aylana radiusini toping.

ABC

uchburchakning yuzini toping.

43.

Rasmda

ABCD

to'g'ri to'rtburchak tasvirlangan bo'lib, bunda

S_{ABK}=10

S_{FEG}=1

S_{AFD}=7

S_{KHG}=S_1

S_{AKGF}=S_2

ga teng bo'lsa,

S_1

ni toping.

AB=8

AD=11

ga teng bo'lsa,

S_2

ni toping.

44.

Rasmda shar, konus va silindr tasvirlangan. Bunda

R_{shar}=R_{konus}=R_{silindr}

V_{silindr}=V_{konus}+V_{shar}

a) Agar

H=10\ cm

ga teng bo'lsa, silindrsimon idishga necha litr suv ketadi?

b) Shar sirti yuzi

144\pi

ga teng bo'lsa, silindrning hajmini toping.

45.

Rasmdagi ko'rsatilgan doira

1:2

nisbatda katta va kichik sektorlarga bo'lingan. Agar bu qismlardan stakan yasalgan bo'lsa.

a) 1-stakan hajmining 2-stakan hajmiga nisbatini toping.

b) 1-konusga ichki chizilgan shar hajmining, 2-konusga ichki chizilgan shar hajmiga nisbatini toping.